\subsection{圆周角}\label{subsec:czjh2-7-5}
\begin{enhancedline}

顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫做\zhongdian{圆周角}。
图 \ref{fig:czjh2-7-20} 各圆中的 $\angle BAC$ 都是圆周角。

\begin{dingli}[定理]
    一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
\end{dingli}

已知： $\yuan\,O$ 中， $\yuanhu{BC}$ 所对的圆周角是 $\angle BAC$，圆心角是 $\angle BOC$ （图 \ref{fig:czjh2-7-20}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-20-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-20-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-20-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-20}
\end{figure}

求证： $\angle BAC = \exdfrac{1}{2} \angle BOC$。

\zhengming 分三种情况讨论。

（1） 图 \ref{fig:czjh2-7-20} 甲中，圆心 $O$  在 $\angle BAC$ 的一条边上。

$\left.\begin{aligned}
    OA = OC  \tuichu  \angle C = \angle  BAC \\
    \angle BOC = \angle BAC + \angle C
\end{aligned}\right\}  \tuichu \angle BAC = \exdfrac{1}{2} \angle BOC \juhao$

（2） 图 \ref{fig:czjh2-7-20} 乙中，圆心 $O$  在 $\angle BAC$ 的内部。

作直径 $AD$。 利用（1）的结果，有

$\left.\begin{aligned}
    \angle BAD = \exdfrac{1}{2} \angle BOD \\
    \angle DAC = \exdfrac{1}{2} \angle DOC
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \angle BAD + \angle DAC = \exdfrac{1}{2} (\angle BOD + \angle DOC)  \tuichu  \angle BAC = \exdfrac{1}{2} \angle BOC \juhao$

（3） 图 \ref{fig:czjh2-7-20} 丙中，圆心 $O$  在 $\angle BAC$ 的外部。

作直径 $AD$。 利用（1）的结果，有

$\left.\begin{aligned}
    \angle DAB = \exdfrac{1}{2} \angle DOB \\
    \angle DAC = \exdfrac{1}{2} \angle DOC
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \angle DAC - \angle DAB = \exdfrac{1}{2} (\angle DOC - \angle DOB)  \tuichu  \angle BAC = \exdfrac{1}{2} \angle BOC \juhao$

由定理可推得下面一些推论:

\begin{tuilun}[推论1]
    同弧或等弧所对的圆周角相等；
    同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
\end{tuilun}（图 \ref{fig:czjh2-7-21}）

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-21}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-21}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-22}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-22}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-23}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-23}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{tuilun}[推论2]
    半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
    $90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。
\end{tuilun}（图 \ref{fig:czjh2-7-22}）

如图 \ref{fig:czjh2-7-23}，在 $\triangle ABC$ 中，如果中线 $CO = \exdfrac{1}{2} AB$，
以 $AB$ 为直径作 $\yuan\,O$， 则点 $C$ 在 $\yuan\,O$ 上。
由推论 2 可知， $\angle ACB = Rt \angle$。 由此得到：

\begin{tuilun}[推论3]
    如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
\end{tuilun}

由弦及其所对的弧组成的图形叫做\zhongdian{弓形}。
如图 \ref{fig:czjh2-7-21}，弦 $AB$ 与 $\yuanhu{AC_2B}$ 组成弓形 $AC_2B$。
图中的 $\angle AC_2B$ 也可以叫做 $\yuanhu{AC_2B}$ 所含的圆周角，
或 $\yuanhu{AC_2B}$ 所含的\zhongdian{弓形角}。


\liti 如图 \ref{fig:czjh2-7-24}， $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高， AE是 $\triangle ABC$  的外接圆直径。

求证： $AB \cdot AC = AE \cdot AD$。

\zhengming 连结 $BE$。

$\because$ \quad $\angle ADC = \angle ABE = Rt \angle$， $\angle C = \angle E$，

$\therefore$ \quad $\triangle ADC \xiangsi \triangle ABE$。

$\therefore$ \quad $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AD}{AB}$。

$\therefore$ \quad $AB \cdot AC = AE \cdot AD$。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-24}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-24}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-25}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-25}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-26.png}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-26}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti 已知： 如图 \ref{fig:czjh2-7-25}, $P$ 是弓形 $AMB$ 内任意一点， $Q$ 是弓形外的任意一点，
并且和点 $P$ 在直线 $AB$ 同侧。弓形角等于 $\alpha$。

求证：（1） $\angle APB > \alpha$； （2）$\angle AQB < \alpha$。

\zhengming （1） 延长 $AP$ 交 $\yuanhu{AMB}$ 于点 $P'$。连结 $BP'$。

$\because$ \quad 点 $P'$ 在弓形弧上，

$\therefore$ \quad $\angle AP'B = \alpha$。

又 $\because$ \quad $\angle APB$ 是 $\triangle PP'B$ 的外角，

$\therefore$ \quad $\angle APB > \angle AP'B = \alpha$。

（2）设 $AQ$ 与 $\yuanhu{AMB}$ 交于点 $Q'$，连结 $BQ'$。

$\because$ \quad 点 $Q'$ 在弓形弧上，

$\therefore$ \quad $\angle AQ'B = \alpha$。

又 $\because$ \quad $\angle AQ'B$ 是 $\triangle BQ'Q$ 的外角。

$\therefore$ \quad $\angle AQB < \angle AQ'B = \alpha$。


例2 的结果，可以用来解决一些实际问题。
例如，临近暗礁的海岸上，可以建两个灯塔 $A$、$B$（图 \ref{fig:czjh2-7-26}），
使暗礁包围在以 $AB$ 为弦的弓形 $AMB$ 内。
那么只要航船 $S$ 能从所收到的信号中知道弓形角 $\alpha$ 的大小，
在航行中保持对两个灯塔的视角 $\angle ASB < \alpha$，航船就不会触礁。


\begin{lianxi}

\xiaoti{找出图中圆内接四边形对角线把 4 个内角分成的 8 个角中，哪些是相等的角。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec5-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec5-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec5-lx-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{（口答）怎样运用三角板（或曲尺）作出圆形工件表面上的直径、定出圆心？说明理由。}

\xiaoti{$OA$ 是 $\yuan\,O$ 的半径，以 $OA$ 为直径的 $\yuan\,C$ 与 $\yuan\,O$ 的弦 $AB$
    相交于点 $D$。求证： $D$ 是 $AB$ 的中点。
}

\xiaoti{已知： $CD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线， $AB = 2 CD$， $\angle B = 60^\circ$。
    求证： $\triangle ABC$ 外接圆的半径等于 $CB$。
}

\end{lianxi}
\end{enhancedline}

